Ecuaciones Diferenciales:
Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las derivadas de una o mas variables dependientes respecto a una o mas variables independientes.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias:
Se llama ecuación diferencial ordinaria (E. D. O.) a una ecuación diferencial en la que aparecen derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes respecto a una única variable independiente.
Ejemplo:
La población P(t) de un suburbio de una gran ciudad en un instante cualquiera se rige por
en donde t se mide en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿En qué momento será la población igual a la mitad de su valor límite?
Solución : Calculamos en primer lugar el tamaño de la población, P(t), resolviendo el problema de valores iniciales. La ecuación diferencial tiene sus variables separadas:
donde hemos denotado
Integrando los dos miembros de esta identidad entre 0 y t obtenemos
donde hemos efectuado el cambio de variable Q = P(t). Teniendo en cuenta ahora que
concluimos tras una serie de cálculos simples que la única solución de nuestro problema es
El valor límite de la población es por tanto
como se desprende de una simple aplicación de la regla de L’Hôpital. Para responder a la segunda cuestión tenemos que encontrar el valor t0 para el que
Basta entonces con resolver la ecuación
Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros concluimos que
