Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuaciones Diferenciales: 

Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las derivadas de una o mas variables dependientes respecto a una o mas variables independientes.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias:

Se llama ecuación diferencial ordinaria (E. D. O.) a una ecuación diferencial en la que aparecen derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes respecto a una única variable independiente.

Ejemplo:

La población P(t) de un suburbio de una gran ciudad en un instante cualquiera se rige por  

en donde t se mide en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿En qué momento será la población igual a la mitad de su valor límite? 

Solución : Calculamos en primer lugar el tamaño de la población, P(t), resolviendo el problema de valores iniciales. La ecuación diferencial tiene sus variables separadas:

donde hemos denotado 

Integrando los dos miembros de esta identidad entre 0 y t obtenemos 

donde hemos efectuado el cambio de variable Q = P(t). Teniendo en cuenta ahora que 

concluimos tras una serie de cálculos simples que la única solución de nuestro problema es 

El valor límite de la población es por tanto 

como se desprende de una simple aplicación de la regla de L’Hôpital. Para responder a la segunda cuestión tenemos que encontrar el valor t0 para el que

 

Basta entonces con resolver la ecuación 

Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros concluimos que